Η μεγάλη καλλιτεχνική του οικογένεια (ο πατέρας του είναι ζωγράφος και ο αδερφός του ποιητής) αποτέλεσε πηγή έμπνευσης για τον ίδιο...Γεννήθηκε στη Λευκωσία από Ελληνοκύπριο πατέρα και Ελληνίδα μητέρα. Αρχικά, ήθελε να σπουδάσει ντραμς, αλλά δεν τα κατάφερε καθώς δεν υπήρχε κατάλληλος δάσκαλος στη Λευκωσία. Αντ' αυτού, σπούδασε κιθάρα...
Τα πρώτα 20 χρόνια της ζωής του τα πέρασε σε ένα προάστιο της Λευκωσίας. Μετά τη στρατιωτική του θητεία, φεύγει το 1989 για την Ελλάδα για να σπουδάσει με υποτροφία στη Δραματική Σχολή του Εθνικού Θεάτρου. Επίσης, περνάει στη Φιλοσοφική Σχολή του Πανεπιστημίου Αθηνών, την οποία όμως θα εγκαταλείψει αργότερα. Το 1993 εμφανίζεται για πρώτη φορά στο Αρχαίο Θέατρο της Επιδαύρου, ερμηνεύοντας το ρόλο του Μοσχίονα, στη Σαμία του Μενάνδρου. Το 1996 και πάλι στην Επίδαυρο ερμηνεύει το ρόλο του Απόλλωνα στην Άλκηστη του Ευριπίδη. Ακόμα, έχει εργαστεί στην τηλεόραση και τον κινηματογράφο.
Εκτός από το θέατρο, ο Αλκίνοος ασχολείται παράλληλα και με τη μουσική. Κυκλοφορεί τον πρώτο του δίσκο το 1993 με τίτλο Στην αγορά του κόσμου σε στίχους και μουσική του Νίκου Ζούδιαρη και ενορχήστρωση του Τάκη Μπουρμά. Συμμετέχει και η Δήμητρα Γαλάνη, η οποία τον βοήθησε σημαντικά ώστε κυκλοφορήσει ο δίσκος αυτός. Ο δίσκος γνωρίζει επιτυχία με πιο γνωστό το τραγούδι «Στην αγορά του Αλ Χαλίλι».
Το 1995 κυκλοφορεί το δεύτερο δίσκο του, Όπως μυστικά και ήσυχα. Οι στίχοι και η μουσική είναι και πάλι από το Νίκο Ζούδιαρη, ενώ η ενορχήστρωση από το Γιώργο Ανδρέου. Ξεχωρίζει το τραγούδι «Δεν μπορώ» και ο δίσκος αυτός, όπως και ο προηγούμενος, γίνεται χρυσός.
Ως τραγουδοποιός πρωτοεμφανίζεται το 1996 με το δίσκο Ο δρόμος, ο χρόνος και ο πόνος. Η ενορχήστρωση γίνεται από τον ίδιο και το Γιάννη Σπάθα. Όπως και στους δίσκους που θα ακολουθήσουν, οι στίχοι και η μουσική είναι δικοί του, ενώ το εξώφυλλο είναι σχεδιασμένο από τον πατέρα του, Άντη Ιωαννίδη. Η δουλειά του αυτή δέχεται εξαιρετικές κριτικές. Το τραγούδι που γίνεται περισσότερο γνωστό είναι το «Όσα η αγάπη ονειρεύεται».
Το Μάιο του 1999 έρχεται ο καινούργιος του δίσκος με τίτλο Ανεμοδείκτης. Στο δίσκο αυτό συμμετέχει ο Διονύσης Σαββόπουλος και η Ελευθερία Αρβανιτάκη στο τραγούδι «Αδιέξοδο». Άλλα γνωστά τραγούδια από τον ίδιο δίσκο είναι τα «Με τόσα Ψέματα» και «Θα 'μαι κοντά σου (όταν με θες)».
Ακολουθεί το 2000 το Εκτός τόπου και χρόνου, που περιέχει ζωντανές ηχογραφήσεις από το Θέατρο Λυκαβηττού και το Θέατρο Παπάγου. Συμμετέχουν ο Διονύσης Σαββόπουλος, η Ελευθερία Αρβανιτάκη και η Δήμητρα Γαλάνη. Στο δίσκο αυτό ερμηνεύει εκτός από δικά του, τραγούδια και άλλων καλλιτεχνών, όπως του Χάρη & του Πάνου Κατσιμίχα, του Μάνου Λοΐζου, του Μάνου Χατζιδάκι, του Διονύση Σαββόπουλου, του Τζίμη Πανούση και του Ορφέα Περίδη.
Τον Ιούνιο του 2003 κυκλοφόρησε ο έκτος του δίσκος, Οι περιπέτειες ενός προσκυνητή, με τον τίτλο να είναι εμπνευσμένος από το βιβλίο Οι περιπέτειες ενός προσκυνητού, αγνώστου συγγραφέως, το οποίο και έχει βραβευθεί από την Ακαδημία Αθηνών.
Τον Απρίλιο του 2006 κυκλοφόρησε μαζί με το συνεργάτη του Μιλτιάδη Παπαστάμου το δίσκο ’Που Δύσην ως Ανατολήν, ο οποίος περιέχει παραδοσιακά κυπριακά τραγούδια.
Τον Μάρτιο του 2009 κυκλοφόρησε ο δίσκος Νεροποντή.
Εκτός από την προσωπική του δισκογραφική δουλειά, έχει συμμετάσχει σε αρκετές δισκογραφικές δουλειές συναδέλφων του ως ερμηνευτής, συνθέτης, στιχουργός, ενορχηστρωτής και παραγωγός.
Αποτέλεσμα των συνεργασιών αυτών, αποτελεί ο δίσκος του Συνάντηση, που περιέχει 31 τραγούδια από συμμετοχές του σε άλλους δίσκους την περίοδο 1994-2006, καθώς και το Μπαξέ τσιφλίκι του Βασίλη Τσιτσάνη ερμηνευμένο από τον ίδιο τον Αλκίνοο και μέχρι τότε ανέκδοτο τραγούδι.
Έχει συνεργαστεί με διάφορα σύνολα, όπως με την Καμεράτα-Ορχήστρα των Φίλων της Μουσικής, τη Λαϊκή Ορχήστρα Μίκης Θεοδωράκης, το Μουσικό Σύνολο Μάνος Χατζιδάκις, τη Συμφωνική Ορχήστρα της ΕΡΤ και την Κρατική Ορχήστρα της Ελλάδας. Επίσης έχει εμφανιστεί στο Ωδείο Ηρώδου του Αττικού, το Μέγαρο Μουσικής Αθηνών, το Θέατρο Λυκαβηττού, ενώ κατά καιρούς έχει εμφανιστεί σε διάφορες μουσικές σκηνές.
Τέλος, έχει δώσει πολλές συναυλίες στο εξωτερικό, όπως στη Νέα Υόρκη, την Ιντιάνα, το Σικάγο, το Λονδίνο, καθώς και στη Γερμανία, τη Μεγάλη Βρετανία, το Βέλγιο, την Ισπανία, τη Ρουμανία, τη Γαλλία, τη Γεωργία, την Αργεντινή και την Αίγυπτο στο πλαίσιο εκδήλωσης για τα εγκαίνια της Νέας Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας.
