Παιδί Λετονών μεταναστών, ο Norman μεγάλωσε στο East End του Λονδίνου, όπου η μητέρα του του αγόρασε την πρώτη του κιθάρα σε ηλικία 16 ετών.
Συνέχισε να συνθέτει για παραστάσεις του West End όπως το Expresso Bongo και η Irma La Douce, πριν ασχοληθεί με τον κινηματογράφο.
Το θέμα του Bond, που ανατέθηκε για το Dr No του 1962, χρησιμοποιήθηκε σε όλη τη σειρά.
Ο παραγωγός του Μποντ, Κάμπι Μπρόκολι, είχε ζητήσει από τον Νόρμαν να συνθέσει τη μουσική της πρώτης ταινίας, έχοντας εντυπωσιαστεί με το σκηνικό του μουσικό βιογραφικό.
Για το κύριο θέμα, ο συνθέτης ξεσκόνισε μια από τις προηγούμενες συνθέσεις του - Bad Sign Good Sign, από μια εγκαταλελειμμένη παραγωγή του VS Naipaul's A House For Mr Biswas - και την ξαναέγραψε έχοντας κατά νου τον ευγενικό κατάσκοπο.
Αφού άλλαξε το κύριο riff από σιτάρ σε ηλεκτρική κιθάρα, ο Norman ήξερε ότι είχε συλλάβει την ουσία του 007.
"Η σεξουαλικότητα του, το μυστήριο του, η σκληρότητά του - είναι όλα εκεί σε μερικές σημειώσεις." θυμάται αργότερα.
Ο Norman έγραψε επίσης Underneath the Mango Tree που συνοδεύει τη διάσημη σκηνή της παραλίας Dr No με την Ursula Andress και τον Sean Connery.
Ο Τζον Μπάρι τακτοποίησε περίφημα το θέμα του Μποντ, οδηγώντας μερικούς ανθρώπους να υποθέσουν ότι το είχε γράψει, προς μεγάλη δυσαρέσκεια του Νόρμαν. Το 2001, πήγε τους The Sunday Times στο δικαστήριο για ένα άρθρο που ανέφερε ότι δεν είχε συνθέσει τη διάσημη σειρά κιθάρας και του επιδικάστηκε αποζημίωση για συκοφαντική δυσφήμιση £30.000.
Σε μια ποικίλη καριέρα, ο Norman τραγούδησε επίσης με μεγάλα συγκροτήματα και εμφανίστηκε επίσης σε βαριετέ μαζί με τους Harry Secombe, Peter Sellers, Spike Milligan και Tommy Cooper.
Έγραψε επίσης τη μουσική για την ταινία Hammer, The Two Faces of Dr. (1976).
Ο Norman έπρεπε να πειστεί να γράψει το Bond αρχικά, επειδή ήταν απασχολημένος με δύο άλλα σκηνικά έργα.
